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Archive for the ‘Matemáticas’ Category

El problema de Monty Hall

Prólogo.

Como es habitual, el día 28 de diciembre es un día un tanto “especial”. Los periodistas confunden hacer una broma con hacer mal su trabajo (dar noticias falsas). Yo, en cambio, procuro este día aportar algo también “especial” pero bien hecho. Un año fue la crítica del comportamiento periodístico en este día. Otro año ha sido algún breve texto literario sarcástico. Etc. En esta ocasión, se me ha ocurrido un entretenimiento matemático que he encontrado recientemente.

Introducción.

He encontrado en un blog de matemáticas el famoso problema de Monty Hall. Famoso para ellos, porque yo no lo conocía. Es un problema de probabilidades. Monty Hall es el nombre de un presentador de una televisión en Estados Unidos.

Es un problema de enunciado simple y solución aparentemente fácil, pero que provoca mucha confusión en quien intenta solucionarlo porque introduce en el enunciado un elemento peculiar. Yo también me he equivocado al solucionarlo por no prestar atención. He caído en la misma trampa que mucha otra gente, incluyendo famosos matemáticos como Paul Erdős. Hay muchos comentarios en ese blog y también en Meneame, en donde lo han enlazado, discutiendo el asunto. Va a ser verdad algo que leí hace tiempo, sobre que la mente humana no está hecha para manejar el concepto de las probabilidades. (más…)

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Propiedades numéricas del 6, 60, 216 y 666

Índice.

Introducción.
6.
60: Sistema sexagesimal.
216.
666.


Introducción.

He recopilado las propiedades numéricas más importantes o llamativas de los números 6, 60, 216 y 666, que son números relacionados entre sí.

Este artículo de Matemáticas sirve de introducción al siguiente, un artículo sobre numerología (esoterismo), aplicada en sociopolítica, religión y misticismo de los números 6, 216, 666 y 6 millones.

Antes de continuar, es necesario ser consciente de la ley fuerte de los números pequeños, según la cual, los números pequeños, al ser pocos, aparecen por todas partes e intervienen en multitud de casualidades numéricas. Esto no debe llevar a engaño y hacer creer que dichas casualidades son más especiales o que señalan algo mágico. Todos los números pequeños “disfrutan” de muchas curiosidades numéricas.


6.

Euclides llamó al número 6 “perfecto” por ser igual a la suma de sus divisores (6 = 1+2+3). Desde entonces a los números que tienen esta propiedad se les llama perfectos: 28, 496, 8128, …

El 6 es el menor número perfecto.
Es el segundo número compuesto más pequeño.
Es el tercer número triangular: T(3) = 6· T(8) = 36 (6 · 6) también es triangular.
Es un número octahedral.
Es un número congruente.
Es el único número resultado de la suma y el producto de tres enteros positivos.
Es un número perfecto unitario, un número divisor armónico y un número altamente compuesto.


60: Sistema sexagesimal.

El sistema sexagesimal es un sistema de numeración de base 60 (6 x 10), cuyo origen procede de los sumerios, pasando luego a los babilonios. El sistema sexagesimal se usa para medir tiempos (horas, minutos y segundos) y ángulos (grados, minutos y segundos). En este sistema, 60 unidades de un orden forman una unidad de orden superior. El número 60 tiene la ventaja de tener muchos divisores (2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 y 60), con lo que se facilita el cálculo con fracciones. 60 es el número más pequeño que es divisible por 1, 2, 3, 4, 5 y 6:

Unidades de tiempo:

  • 1 minuto = 60 segundos (6 · 10)
  • 1 hora = 60 minutos (6 · 10)
  • 1 día = 24 horas (6 · 4)
  • 1 semana = 7 días (6 días laborables + 1 de descanso)
  • 1 mes = 30 días (6 · 5)
  • 1 año = 12 meses (6 · 2) = 360 + 5 días (6 · 6 · 10 + 5)

Unidades de ángulos:

  • Minuto de arco = 60 segundos de arco (6 · 10)
  • Grado = 60 minutos de arco (6 · 10)
  • Círculo = 360 grados (6 · 6 · 10)

Se ve claramente la relación entre grados de circunferencia y tiempo. Supongo que la medición del tiempo con relojes circulares y manecillas que miden segundos y minutos procede de la trigonometría (y la astronomía) sexagesimal, o al revés.

El calendario chino está formado por 5 ciclos de 12 años cada uno (60 años en total).

El sextante es un antiguo instrumento de navegación que mide ángulos entre dos objetos lejanos. El nombre sextante proviene de la escala del instrumento, que abarca un ángulo de 60 grados, un sexto de un círculo completo.

El sistema de numeración babilónico era base 60. Pero a diferencia del sistema decimal que tiene 10 símbolos distintos para representar los números, los babilonios sólo empleaban 2 símbolos que combinados producían los 60 símbolos de su sistema de numeración, el cual tenía vestigios de un sistema de numeración decimal.

En geometría euclidiana: Todos los ángulos internos de un triángulo equilátero tienen 60º. La suma de los grados de los ángulos internos de cualquier triángulo es 180º (6 · 3 · 10).

Relación con los números primos: Divisores de 60 son los tres primeros números primos: 2, 3 y 5. También son números primos el anterior y el siguiente al 60: 59 y 61.

Relación con el número \pi: Ptolomeo usaba para \pi una gran aproximación:

\frac {377}{120} = 3 + \frac {8}{60} + \frac {30}{60^2} (más…)

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1. Competición de copa.

Con N equipos, la cantidad total de eliminatorias es log_2 N, (por lo tanto, N debe ser una cantidad potencia de 2, como por ejemplo 8, 16 ó 32).

La cantidad de partidos en una competición de copa en la que las eliminatorias sean a doble partido es:

\underbrace{{1}+{2}\cdot{2}+\cdots+2\cdot\frac{N}{2}}_{log_2N}={2}\underbrace{({1}+{2}+\cdots+\frac{N}{2})}_{log_2N}-{1}=\\{2}({N}-{1})-{1}={2}N -{3}

Como en cada eliminatoria se juega un partido de ida y otro de vuelta (excepto la final que es a partido único), entonces la cantidad de partidos jugados por cada equipo finalista es:

\underbrace{1+2+\cdots+2}_{log_2 N}=1+2(log_2 N-1)= 1 + 2(log_2 N)-2 =

2log_2 N-1

Nota: No hace falta, porque en estos números que son potencias de 2 el logaritmo en base 2 es evidente, pero si se quiere calcular el logaritmo en base 2 de un N cualquiera, (por ejemplo, de un N=25, en donde N no es potencia de 2) con una calculadora, basta seguir la fórmula:

log_{base} N = \frac{log_n N}{log_n base}

En este caso base=2, (puede ser cualquiera, claro), y como todas las calculadoras permiten calcular el logaritmo decimal (en base 10; en la fórmula n=10) y en base natural (en base e; en la fórmula, n=e), no tiene mayor problema.

2. Competición de liga.

En una competición de liga la cantidad de partidos es la cantidad de jornadas multiplicada por la cantidad partidos/jornada =

2(N-1) \frac{N}{2} = N(N-1)

La cantidad de partidos jugados por cada equipo = cantidad de jornadas ligueras = 2(N-1)

Por ejemplo, si N=16, en una competición de copa se jugarían en total 29 partidos, mientras que en una de liga, 240 partidos, (exactamente 8 veces más). Cada equipo finalista jugaría en la competición copera 7 partidos (el resto de equipos menos, al ser eliminados y no llegar a la final), mientras que en una competición liguera, todos jugarían 30 partidos.

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Wolfram Research, Inc. es la empresa autora de Mathematica, el más famoso y seguramente el mejor programa de Matemáticas (con casi 2 millones de usuarios) y otros productos relacionados (Mathematica CalcCenter, webMathematica, gridMathematica). El nombre de la empresa procede del fundador, Stephen Wolfram.

Stephen Wolfram es autor del libro A New Kind of Science. Este libro se puede leer gratis en WolframScience (en inglés). Partiendo de experimentos simples con ordenador, obtuvo resultados inesperados que afectan a muchas ramas científicas, y terminó escribiendo este libro. Tengo pendiente leerlo o al menos, echarle un vistazo. En dicha web también hay transcripciones de conferencias y vídeos sobre su libro.

Wolfram Research mantiene en Internet una central extraordinaria de recursos científicos: Wolfram Web Resources, destacando las 5 enciclopedias científicas de ScienceWorld, creadas y mantenidas por el otro peso pesado de Wolfram Research, Eric W. Weisstein, gracias a las contribuciones de la comunidad de Internet, (al estilo de Wikipedia):

A partir de la web de Eric Weisstein, se accede a otras webs de interés:

(más…)

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El nombre de Google procede de la palabra “Googol”. Cambia ligeramente porque cometieron un error de tipografía. La palabra Googol fue inventada por el sobrino de 9 años de edad del matemático judeo-yanqui Edward Kasner, que al parecer le pidió que se inventara un nombre para el número 10100 y el crío dijo eso. Ya me estoy imaginando a los familiares cayéndoseles la baba mientras el crío decía “googol”, con su inevitable acento gangoso infantil, aumentado por la pronunciación típica del idioma inglés.

Dicen en Wikipedia que Kasner inventó dicho número para incluirlo en un libro en el que explicaba que aún un número tan gigantesco como este ni se acercaba al concepto de infinito. Para eso no hace falta un libro. Cualquier profesor y alumno lo explica fácilmente en medio minuto. Además, ahora me entero que antes de Kasner ese número no existía… A ver, ese número ha existido siempre. De hecho, cuando a cualquier crío en el colegio le enseñan lo que es la potenciación, los primeros números que a todos se nos ocurre escribir son los típicos de 22, 210, 102, y otros por el estilo, como 1010 o 10100, precisamente por ser números redondos (como el 10 ó el 100), o simples, como el 2.

Me niego a usar la palabrostia “Googol” para referirme a dicho número, al cual seguiré llamando como se le ha llamado toda la vida en español: “10 elevado a 100”. Me niego por varios motivos:

  • Si un matemático o científico en general quiere pasar a la Historia con su nombre o con algún concepto inventado por él, que se lo gane, descubriendo algo de mérito y desarrollando alguna parte de las matemáticas, física u otra ciencia. A mí me parece muy bien que exista una “constante de Planck”, un “Principio de Heisenberg”, unas “ecuaciones de Maxwell”, un “conjunto de Mandelbrot”, unos “números de Euler”, una “conjetura de Poincaré” o unos “teoremas de Fermat” en honor de los respectivos científicos que contribuyeron al desarrollo de las matemáticas y física, pero no está bien hacer eso con alguien que no ha hecho nada digno de mención.
  • Porque dicho número no tiene ninguna utilidad ni cualidad reseñable para tener un nombre propio, a diferencia de números como “e” o constantes como la de Planck.
  • Es una palabra fea, típicamente gangosa inglesa e infantiloide.
  • Porque soy español y estoy harto de imperialismo cultural y lingüístico anglosajón, y encima, como en este caso, aplicado a una gilipollez de número.

A partir de Googol, se han inventado luego otra palabrostia: “Googolplex”, que es 10Googol, o sea, 1010100. El no va más de la majadería, por lo que, por supuesto, digo lo mismo que con la palabra anterior: ¡Boicot total!.
🙂

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