Prólogo.
Como es habitual, el día 28 de diciembre es un día un tanto “especial”. Los periodistas confunden hacer una broma con hacer mal su trabajo (dar noticias falsas). Yo, en cambio, procuro este día aportar algo también “especial” pero bien hecho. Un año fue la crítica del comportamiento periodístico en este día. Otro año ha sido algún breve texto literario sarcástico. Etc. En esta ocasión, se me ha ocurrido un entretenimiento matemático que he encontrado recientemente.
Introducción.
He encontrado en un blog de matemáticas el famoso problema de Monty Hall. Famoso para ellos, porque yo no lo conocía. Es un problema de probabilidades. Monty Hall es el nombre de un presentador de una televisión en Estados Unidos.
Es un problema de enunciado simple y solución aparentemente fácil, pero que provoca mucha confusión en quien intenta solucionarlo porque introduce en el enunciado un elemento peculiar. Yo también me he equivocado al solucionarlo por no prestar atención. He caído en la misma trampa que mucha otra gente, incluyendo famosos matemáticos como Paul Erdős. Hay muchos comentarios en ese blog y también en Meneame, en donde lo han enlazado, discutiendo el asunto. Va a ser verdad algo que leí hace tiempo, sobre que la mente humana no está hecha para manejar el concepto de las probabilidades.
Al enterarme de la solución, me pareció un tanto incomprensible. Afortunadamente, me ha bastado pensar un rato para entenderla, a diferencia de otros que insistieron en que la solución estaba mal, incluyendo al citado Paul Erdős, que no rectificó (“esto es imposible”) hasta que no le mostraron una simulación estadística por ordenador. Es reconfortante comprobar que un matemático mundialmente famoso lo hace peor que uno a veces, jajaja. Y algo mejor todavía, que es lo que realmente me ha motivado a escribir esto, y es entender la clave del fallo al resolverlo, porque, para repetir lo que otros han dicho ya, para eso no escribo. Pero como en esas webs parece que solamente se dedican a explicar la solución y no el porqué del fallo, no la trampa mental que provoca el error, pues ya tengo algo que aportar y la excusa para escribirlo, lo cual es útil para no caer en lo mismo ante otro problema similar que uno pudiera encontrar en otra ocasión.
Enunciado del problema.
En un concurso de televisión (de ahí lo de Monty Hall), el concursante tiene ante sí 3 puertas: A, B, C. Detrás de una hay un coche y detrás de cada una de las otras dos hay una cabra. El concursante quiere llevarse el coche (hay que especificarlo por si acaso, jajaja), y elige una puerta cualquiera. El presentador del concurso, que sabe dónde está el coche, abre otra puerta, en donde está una cabra, y le pregunta al concursante si quiere cambiar su elección de puerta o si quiere mantenerse con la que había elegido al principio. ¿Le interesa al concursante cambiar de puerta? (para aumentar su probabilidad de acertar).
Solución.
Parece mentira que, ante la confusión general, en un blog de matemáticas lleguen a usar el recurso de describir todas las posibilidades (son pocas, afortunadamente) para explicar y hacer entender la solución, que viene a ser algo así como “la cuenta de la vieja”, 
cuando una explicación certera con palabras basta, además de la correspondente explicación en lenguaje matemático de probabilidades.
La solución es que al concursante SÍ le interesa cambiar de puerta. Y como dije antes, se han hecho pruebas estadísticas por ordenador para demostrarlo, para que todo el mundo se convenza.
a) Explicando las combinaciones:
Las tres posibilidades si el concursante cambia de puerta, tras haber desvelado el presentador que en la puerta C hay una cabra:
- Si detrás de la puerta A estuviera el coche, al cambiar a la B lo pierde, encontrándose con una cabra.
- Si detrás de la puerta A estuviera una cabra, al cambiar a la B gana el coche, porque en la C está la otra cabra.
- Si detrás de la puerta A estuviera la otra cabra, al cambiar a la B gana el coche, porque en la C está la otra cabra.
Gana el coche si se cambia en 2 de las 3 posibilidades. Por lo tanto, la probabilidad de cambiarse de puerta es 2/3 > 1/3 que es la probabilidad de no cambiar de puerta.
b) Explicando la solución con palabras:
La probabilidad de acertar el coche al elegir por ejemplo la puerta A es 1/3, y la probabilidad de que el coche esté en las otras 2 (en la B o en la C) es 2/3. Como el presentador del concurso abre una puerta, por ejemplo la C, mostrando una cabra, entonces la probabilidad de que el coche esté detrás de la C ha quedado reducida a cero, por lo que la probabilidad de que el coche esté detrás de las puertas B o C (que es 2/3) pasa a ser la probabilidad de que el coche esté detrás de la puerta B, 2/3.
Como la probabilidad de que esté detrás de la puerta A es 1/3, que es menor que la probabilidad de que esté detrás de la puerta B, que es 2/3, sí le interesa al concursante cambiarse de puerta.
c) Matemáticamente:
Nota: U significa (unión):
P(A) = 1/3
P(B U C) = 2/3
Si P(C) = 0 ==> 2/3 = P(B U C) = P(B) + P(C) = P(B) + 0 = P(B) > P(A) = 1/3
Como se ve, basta con definir bien el problema, lo cual es fácil, y seguir luego las propiedades del álgebra de Boole, como la asociativa o el elemento neutro de la suma para llegar a la solución correcta.
El error.
El problema en el que cae mucha gente (como Paul Erdős y toda clase de gente) es recalcular todas las probabilidades cuando el presentador aporta información, en concreto, cuando al abrir una puerta nos muestra que ahí no está el coche, creyendo que la probabilidad de ganar si se cambia a la otra puerta es la misma que si no, 1/2. Al hacerlo, al recalcular todas las probabilidades, se está modificando el problema a uno distinto del planteado. En concreto, modifican el problema convirtiéndolo en el clásico de tirar una moneda al aire (probabilidad 1/2 en que salga cara o cruz). Y eso está mal, porque el problema no es ese.
Es un problema en el que hay inicialmente 3 opciones de elección, y en el que se establece una probabilidad para la elección del concursante y otra para el resto de opciones. Que luego el problema se simplifique por el presentador, introduciendo una probabilidad de cero para una de las puertas sólo debe usarse para simplificar la parte del problema en el que eso afecta, y no en la otra parte, no en la parte de la probabilidad de la puerta que el concursante eligió inicialmente.
Este problema tiene la virtud de que, al aportar más información en su resolución (el presentador abriendo la puerta), se saca a la luz una confusión latente que en otro caso habría quedado oculta en el entendimiento de la probabilidad, y es una confusión muy extendida, como se ha comprobado. Brillante el que lo inventó.
Extensión del problema.
Si en vez de haber 3 puertas con un solo coche, hubiera una cantidad mayor de puertas con un solo coche, y el presentador las abriera todas menos una, por el mismo motivo interesaría también cambiar de puerta, y con una probabilidad muchísimo mayor de acertar.
Por ejemplo, con 100 puertas, 98 abiertas y sólo dos sin abrir, al concursante le interesaría cambiarse a la otra puerta porque la probabilidad de ganar sería de 99/100.
Fuente: Gaussianos.
Visitas en este instante:
La reformulación de la probabilidad al 50% (1/2) parece que sería lo lógico, pero es cierto que se estaría modificando el planteamiento inicial. Este tipo de problemas de lógica son muy buenos como ejercicios mentales. Yo tengo los libros de paradojas de Martin Gardner, donde recoge algunas realmente increibles. Otro autor que ha publicado libros recopilatorios con esta temática es Raimond Smullyan.
Por cierto, en un programa de estos que últimamente tanto proliferan por televisión donde el concursante tiene que elegir entre varias opciones, creo que era ese con cifras de diner en el interior de unas cajas, se han aplicado en muchas ocasiones estos cálculos de probabilidad para crear confusión en el concursante
Yo este problema lo conocía porque aparece en una película que se llama Balckjack, con Kevin Spacey, en la que un profesor de matemáticas y sus alumnos van a los casinos a “contar cartas”.
http://www.siotw.org/modules/news_english/item.php?itemid=768 –> Instituto en el Reino Unido que dice “promocionar el multiculturalismo” despide al director y a su mujer “porque son blancos”
Antirracista es una palabra en clave para antiblanco.
Mi no entender
opciones: X, Y, Z.
TIEMPOS: Ta, Tb.
En el tiempo Ta tienes 1/3 de posibilidades de acertar
En el tiempo Tb el anfitrion (que ya conoce la respuesta) te enseña la cabra(que no seria mal premio si tenemos una crisis energetica y alimenticia)
Entonces en el tiempo Tb tienes 1/2 de posibilidades
Si cambias de casilla , tambien tienes 1/2 de posibilidades en el tiempo Tb.
Ya que el premio esta en una de las dos casillas.
como el anfitrion saca la cabra en el tiempo Tb el desde el comienzo del juego te iba a dar 1/2 de probabilidad, osea que tu tiempo siempre fue Tb.. cambies o no siempre tuvistes 1/2 de posibilidades, (acuerdate que el anfitrion no juega , que el destapa una cabra).
El error, no considerar las probabilidades del ANFITRION, a pesar de que el anfitrion SIEMPRE va a sacar una cabra, en Ta tu eliges y tienes 1/3 de probabilidad del carro , por consiguiente tienes 2/3 de probabilidad de la cabra(que insisto no es un mal premio), entonces para el tiempo Tb tienes mas probabilidades de haber elegido la cabra y de que el anfitrion te saque la otra cabra, asi que si cambias tienes mas posibilidad de ganar, interesante que la mente humana (incluido) no considero las probabilidades del anfitrion, al final la probabilidad no depende de Tb exclusivamente sino tambien de Ta, deja hasta una meditacion metafisica.
si te dan a escoger entre
abrir dos puertas = 66.6% de probabilidades de ganar
y
abrir una puerta = 33.3% de probabilidades de ganar
que eliges?
bueno, en eso consiste el problema, cuando eliges la primera puerta eliges tener 33.3% de probabilidades de ganar, si quieres cambiar de puerta entonces eliges tener 66.6% de probabilidades de ganar, el hecho de que el presentador abra una puerta NO INTERFIERE en la probabilidad inicial.
puesto que solo hay un coche y dos cabras tienes una probabilidad de 100% que al elegir abrir 2 puertas en una está la cabra,
ahora, la probabilidad de elegir el auto en la primera puerta y quedarte con el es de 16.5%, por lo que las probabilidades de perder son de 83.5%, que es lo que va a suceder!!! sino el programa cierra por perder tantos autos!!!